Proposition mathématique - Quantificateurs universel et existentiel

Définition

Une proposition est un énoncé qui est soit vrai, soit faux.

Exemples

• La proposition « 3 est un entier impair » est vraie.
  
• La proposition « 3 est un entier pair » est fausse.
  
• La proposition « Si un individu est français, alors il est européen » est vraie.
  
• La proposition « Un carré est un rectangle » est vraie.
  
• La proposition « Tout nombre premier est impair » est fausse car 2 est un nombre premier pair.
  
• La proposition « P our tout réel  \(x\) , on a \((x+1)^2=x^2+2x+1\)  » est vraie. (C'est une identité remarquable.)
  
• La proposition « Si un nombre est divisible par 2 et 3, alors il est divisible par 6 » est vraie.
  

Notations

• La proposition « P our tout réel  \(x\) , on a  \((x+1)^2=x^2+2x+1\)  » contient une quantification universelle.
• « Pour tout ... »  signifie « quel que soit ... / pour n'importe quel ...  / tous les ...  ».
  C'est le  quantificateur universel . On le note :  \(\forall\) .
  
• La proposition « Il existe un élève de ma classe qui porte des lunettes » contient une quantification existentielle.
  «  Il existe ...  » signifie en mathématiques  « il existe   au moins un ... ».
  C'est le  quantificateur existentiel . On le note : \(​​\) \(\exists\) .
  
• Lorsqu'on souhaite préciser qu'il existe un unique élément , on note : \(\exists !\) .